用多因子模型构建强大的加密资产投资组合：因子正交化篇

通过因子正交化，重新调整原始因子的方向，使他们相互正交（[fᵢ→,fⱼ→]=0，即两个向量相互垂直），本质是对原始因子在坐标轴上的旋转。这种旋转不改变因子之间的线性关系也不改变原本蕴含的信息，并且新因子之间的相关性为零（内积为零等价于相关性为零），因子对于收益的解释度保持不变。

一、因子正交化的数学推导

从多因子截面回归角度，建立因子正交化体系。

每个截面上可以获得全市场token在各个因子上的取值，N代表截面上全市场token数量，K表示因子的数量，fᵏ=[f₁ᵏ,f₂ᵏ,…,f៷ᵏ]′表示全市场token在第k个因子上的取值，并且已对每个因子进行了z-score归一化处理，即 fˉᵏ=0,∣∣fᵏ∣∣=1。

Fₙ×ₖ=[f¹,f²,…,fᵏ]为截面上K个线性独立的因子列向量组成的矩阵，假设以上因子线性无关（相关性不为100%或-100%，正交化处理的理论基础）。

通过对Fₘₙ线性变换，得到一个新的因子正交矩阵F′ₘₙ=[f₁ᵏ,f₂ᵏ,…,fₙᵏ]′ ，新矩阵的列向量相互正交，即任意两个新因子向量内积为零，∀ᵢ,ⱼ,ᵢ≠ⱼ,[(f~ⁱ)’f~ʲ]=0。

定义一个从 Fₙ×ₖ旋转到F~ₙ×ₖ的过渡矩阵 Sₖ×ₖ

F~ₙ×ₖ=Fₙ×ₖ⋅Sₖ×ₖ(2)

1.1 过度矩阵Sₖ×ₖ

以下开始求解过渡矩阵Sₖₖ，首先计算Fₙₖ的协方差矩阵∑ₖₖ，则 Fₙₖ 的重叠矩阵Mₖₖ=(N−1)∑ₖₖ，即

旋转后的F~ₙ×ₖ是正交矩阵，根据正交矩阵的性质 AAᐪ=I，则有

所以，

满足该条件的 Sₖₖ 即为一个符合条件的过渡矩阵。上面公式的通解为

其中，Cₖ×ₖ 为任意正交矩阵

1.2对称矩阵Mₖ×ₖ⁻¹/²

下面开始求解 M∗ₖ×ₖ⁻¹/²，因为 M∗ₖ×ₖ 是对称矩阵，因此一定存在一个正定矩阵 Uₖ×ₖ 满足：

其中，

U∗K×K,D∗K×K 分别为 M∗K×K 的特征向量矩阵和特征根对角矩阵，并且 U∗K×K′=Uₖ×ₖ⁻¹,∀ₖ,λₖ>0。 由公式（13）可得

由于 M∗ₖ×ₖ⁻¹/² 是对称矩阵，且 U∗ₖ×ₖU∗ₖ×ₖ′=I∗ₖ×ₖ，可基于上式得到 M∗ₖ×ₖ⁻¹/² 的一个特解为：

其中

将 M∗ₖ×ₖ⁻¹/² 的解带入公式（6）可求的过渡矩阵：

其中，Cₖ×ₖ 为任意正交矩阵。

根据公式（12），任何一种因子正交都可以转化为选择不同的正交矩阵 Cₖ×ₖ 对原始因子进行旋转。

1.3消除共线性主要用到3种正交方法

1.3.1 施密特正交

故，S∗K×K 为上三角矩阵，C∗K×K=U∗K×KD∗K×ₖK⁻¹/²U∗K×K′S∗K×K

1.3.2 规范正交

故，Sₖ×ₖ=Uₖ×ₖDₖ×ₖ⁻¹/² ，Cₖ×ₖ=Uₖ×ₖ

1.3.3 对称正交

故，Sₖ×ₖ=Uₖ×ₖDₖ×ₖ⁻¹/²U′ₖ×ₖ，Cₖ×ₖ=Iₖ×ₖ

二、三种正交方法的具体实现

1.施密特正交

有一组线性无关的因子列向量 f¹,f²,…,fᵏ，可以逐步的构造出一组正交的向量组 f~¹,f~²,…,f~ᵏ，正交后的向量为：

并对 f~¹,f~²,…,f~ᵏ 进行单位化后：

经过以上处理，得到一组标准正交基。由于 e¹,e²,…,eᵏ 与 f¹,f²,…,fᵏ 等价，二者可以相互线性表示，即 eᵏ是 f¹,f²,…,fᵏ 的线性组合，有 eᵏ=βᵏ₁f¹+βᵏ₂f²+…+βᵏₖfᵏ，因此对应于原矩阵 F∗K×K的过渡矩阵S∗K×K 为一个上三角矩阵，形如：

其中

基于公式（17），施密特正交选取的任意正交矩阵为：

施密特正交是一种顺序正交方法，因此需要确定因子正交的顺序，常见的正交顺序有固定顺序（不同截面上取同样的正交次序），以及动态顺序（在每个截面上根据一定规则确定其正交次序）。施密特正交法的优点是按同样顺序正交的因子有显式的对应关系，但是正交顺序没有统一的选择标准，正交后的表现可能受到正交顺序标准和窗口期参数的影响。

# 施密特正交化

from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidt

Schmidt = GramSchmidt(f.apply(lambda x: Matrix(x),axis=0),orthonormal=True)

f_Schmidt = pd.DataFrame(index=f.index,columns=f.columns)

for i in range(3):

f_Schmidt.iloc[:,i]=np.array(Schmidt[i])

res = f_Schmidt.astype(float)

2.规范正交

选取正交矩阵 Cₖ×ₖ=Uₖ×ₖ，则过渡矩阵为：

其中 U*K×K为特征向量矩阵，用于对因子旋转，D∗K×K⁻¹/² 为对角矩阵，用于对旋转后因子的缩放。此处的旋转与不做降维的PCA一致。

# 规范正交

def Canonical(self):

overlapping_matrix = (time_tag_data.shape[1] – 1) * np.cov(time_tag_data.astype(float))

# 获取特征值和特征向量

eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(overlapping_matrix)

# 转换为np中的矩阵

eigenvector = np.mat(eigenvector)

transition_matrix = np.dot(eigenvector, np.mat(np.diag(eigenvalue ** (-0.5))))

orthogonalization = np.dot(time_tag_data.T.values, transition_matrix)

orthogonalization_df = pd.DataFrame(orthogonalization.T,index = pd.MultiIndex.from_product([time_tag_data.index, [time_tag]]),columns=time_tag_data.columns)

self.factor_orthogonalization_data = self.factor_orthogonalization_data.append(orthogonalization_df)

3.对称正交

施密特正交由于在过去若干个截面上都取同样的因子正交顺序，因此正交后的因子和原始因子有显式的对应关系，而规范正交在每个截面上选取的主成分方向可能不一致，导致正交前后的因子没有稳定的对应关系。由此可见，正交后组合的效果，很大一部分取决于正交前后因子是否有稳定的对应关系。

对称正交尽可能的减少对原始因子矩阵的修改而得到一组正交基。这样能够最大程度地保持正交后因子和原因子的相似性。并且避免像施密特正交法中偏向正交顺序中靠前的因子。

选取正交矩阵 Cₖ×ₖ=Iₖ×ₖ，则过渡矩阵为：

对称正交的性质：

1. 与施密特正交相比，对称正交不需要提供正交次序，对每个因子是平等看待的
2. 在所有正交过渡矩阵中，对称正交后的矩阵和原始矩阵的相似性最大，即正交前后矩阵的距离最小。

# 对称正交

def Symmetry(factors):

col_name = factors.columns

D, U = np.linalg.eig(np.dot(factors.T, factors))

U = np.mat(U)

d = np.diag(D**(-0.5))

S = U*d*U.T

#F_hat = np.dot(factors, S)

F_hat = np.mat(factors)*S

factors_orthogonal = pd.DataFrame(F_hat, columns=col_name, index=factors.index)

return factors_orthogonal

res = Symmetry(f)